BAB 3 PRINSIP DAN ALAT PERANCANGAN LOGIKA

3.1 Aljabar Boolean
A.      Pengertian Aljabar Boolean dan Hukumnya

Pengertian Aljabar Boolean dan Hukumnya – Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

B.       Hukum Aljabar Boolean

Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam sebuah rangkaian Digital Elektronika.

Dibawah ini terdapat 6 tipe Hukum yang berkaitan dengan Hukum Aljabar Boolean

             1.   Hukum Komutatif (Commutative Law)

Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

a.   Perkalian (Gerbang Logika AND)

X.Y = Y.X

b.   Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

X+Y = Y+X

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan posisi variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

           2.      Hukum Asosiatif (Associative Law)

Hukum Asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi logika tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)

W . (X . Y) = (W . X) . Y

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

W + (X + Y) = (W + X) + Y

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat mengelompokan posisi variabel dalam hal ini adalah urutan operasi logikanya, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya. Tidak peduli yang mana dihitung terlebih dahulu, hasilnya tetap akan sama. Tanda kurung hanya sekedar untuk mempermudah mengingat yang mana akan dihitung terlebih dahulu.

           3.      Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel-variabel atau sinyal Input dapat disebarkan tempatnya atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

           4.      Hukum AND (AND Law)

Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian. Berikut ini contohnya :

     5.      Hukum OR (OR Law)

Hukum OR menggunakn Operasi Logika OR atau Penjumlahan. Berikut ini adalah Contohnya :

           6.      Hukum Inversi (Inversion Law)

Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika NOT. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai aslinya.

Jadi, jika suatu Input (masukan) diinversi (dibalik) maka hasilnya akan berlawanan. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula.

RELASI-RELASI DASAR ALJABAR BOOLEAN :

1.   X + 0 = X	7.    X + X’ = X	13.   X.(Y+Z) = X.Y + X.Z
2.  X + 1 = 1	8.    X . X’ = 0	14.   X + Y.Z = (X+Y) . (X+Z)
3.  X . 0 = 0	9.    X + Y = Y + X	15.   (X + Y)’ = X’ . Y’
4.  X . 1 = X	10.  X . Y = Y . X	16.   (X.Y)’ = X’ + Y’
5.  X + X = X	11.   X+(Y+Z) = (X+Y)+Z	17.   (X’)’ = X
6.  X . X = X	12.  X.(Y.Z) = (X.Y).Z	18.   X.(X+Y) = X
		19.   X + (X.Y) = X

Keterangan :

·           Relasi (1), (2), (3) dan (4) disebut dengan Hukum penjalinan dengan konstanta.

·           Relasi (5) dan (6) disebut Hukum perluasan.

·           Relasi (7) dan (8) disebut Hukum komplementasi

·           Relasi (9) dan (10) disebut Hukum komutatif.

·           Relasi (11) dan (12) disebut Hukum asosiatif.

·           Relasi (13) dan (14) disebut Hukum distributif.

·           Relasi (14) tidak dapat digunakan dalam aljabar biasa, tetapi relasi ini sangat berguna dalam memanipulasi ekspresi-ekspresi aljabar boole.

·           Relasi (15) dan (16) disebut Dalil de Morgan.

·           Relasi (17) menyatakan jika suatu variabel dikomplemenkan sebanyak dua kali maka akan didapat nilai asli dari variabel tersebut.

·           Relasi (18) dan (19) disebut Hukum absorpsi.

      

C.       APLIKASI ALJABAR BOOLEAN

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar, yaitu objek yang mempunyai dua buah keadaan; buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

a. Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x

          

2. Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy

       

3. Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y

        

D.      RANGKAIAN PENSAKLARAN PADA RANGKAIAN LISTRIK:

1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND

2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR